【證法1】（趙爽證明）
以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，
∴ ABCD是一個邊長為c的正方形，
它的面積等于c2.
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,
∠HEF = 90º.
∴ EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等于（b－a）2.
∴ .
∴ .
趙爽：字君卿，東吳人。中國數學家。東漢末至三國時代人。生平不詳，約生活于公元3世紀初。
【證法2】（鄒元治證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.
∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四邊形EFGH是一個邊長為c的
正方形. 它的面積等于c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,
∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于 .
∴ . ∴ .
【證法3】（1876年美國總統Garfield證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 . 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.
∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.
∴ ΔDEC是一個等腰直角三角形，
它的面積等于 .
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,
∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一個直角梯形，它的面積等于 .
∴ .
∴ .
詹姆斯·艾伯拉姆·加菲爾德(James Abram Garfield，1831～1881）
美國政治家、數學家，美國共和黨人，第20任總統。生于俄亥俄州南北戰爭期間加入北方軍隊，與南方奴隸制軍隊作戰，擁有少將軍銜。曾于1881年當選總統，他的任期正處于從政黨分肥制到文官制的過渡時期，他在上任半年後被一個謀官未成者暗殺而死。他在數學方面的貢獻主要是在勾股定理的證明方面的新成就，他也是美國歷史上唯一一位數學家出身的總統。他的第一夫人是盧克麗霞·魯道夫。
【證法4】（歐幾里得證明）
做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結BF、CD. 過C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點L.
∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面積等于 ，
ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，
∴ 矩形ADLM的面積 = .
同理可證，矩形MLEB的面積 = .
∵ 正方形ADEB的面積= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積
∴ ，即 .
歐幾里德(Euclid of Alexandria)，生活在亞歷山大城的歐幾里得（約前330～約前275）是古希臘最享有盛名的數學家。以其所著的《幾何原本》（簡稱《原本》）聞名于世
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