古希臘的地理范圍，除了現(xiàn)在的希臘半島外，還包括整個(gè)愛(ài)琴海區(qū)域和北面的馬其頓和色雷斯、意大利半島和小亞細(xì)亞等地。公元前5、6世紀(jì)，特別是希、波戰(zhàn)爭(zhēng)以后，雅典取得希臘城邦的領(lǐng)導(dǎo)地位，經(jīng)濟(jì)生活高度繁榮，生產(chǎn)力顯著提高，在這個(gè)基礎(chǔ)上產(chǎn)生了光輝燦爛的希臘文化，對(duì)后世有深遠(yuǎn)的影響。
希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史可以分為三個(gè)時(shí)期。第一期從伊奧尼亞學(xué)派到柏拉圖學(xué)派為止，約為公元前七世紀(jì)中葉到公元前三世紀(jì)；第二期是亞歷山大前期，從歐幾里得起到公元前146年，希臘陷于羅馬為止；第三期是亞歷山大后期，是羅馬人統(tǒng)治下的時(shí)期，結(jié)束于641年亞歷山大被阿拉伯人占領(lǐng)。
從古代埃及、巴比倫的衰亡，到希臘文化的昌盛，這過(guò)渡時(shí)期留下來(lái)的數(shù)學(xué)史料很少。不過(guò)希臘數(shù)學(xué)的興起和希臘商人通過(guò)旅行交往接觸到古代東方的文化有密切關(guān)系。
伊奧尼亞位于小亞細(xì)亞西岸，它比希臘其他地區(qū)更容易吸收巴比倫、埃及等古國(guó)積累下來(lái)的經(jīng)驗(yàn)和文化。在伊奧尼亞，氏族貴族政治為商人的統(tǒng)治所代替，商人具有強(qiáng)烈的活動(dòng)性，有利于思想自由而大膽地發(fā)展。城邦內(nèi)部的斗爭(zhēng)，幫助擺脫傳統(tǒng)信念在希臘沒(méi)有特殊的祭司階層，也沒(méi)有必須遵守的教條，因此有相當(dāng)程度的思想自由。這大大有助于科學(xué)和哲學(xué)從宗教分離開(kāi)來(lái)。
米利都是伊奧尼亞的最大城市，也是泰勒斯的故鄉(xiāng)，泰勒斯是公認(rèn)的希臘哲學(xué)鼻祖。早年是一個(gè)商人，曾游訪巴比倫、埃及等地，很快就學(xué)會(huì)古代流傳下來(lái)的知識(shí)，并加以發(fā)揚(yáng)。以后創(chuàng)立伊奧尼亞哲學(xué)學(xué)派，擺脫宗教，從自然現(xiàn)象中去尋找真理，以水為萬(wàn)物的根源。
當(dāng)時(shí)天文、數(shù)學(xué)和哲學(xué)是不可分的，泰勒斯同時(shí)也研究天文和數(shù)學(xué)。他曾預(yù)測(cè)一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、呂底亞(今土耳其西部)兩國(guó)停止戰(zhàn)爭(zhēng)，多數(shù)學(xué)者認(rèn)為該次日食發(fā)生在公元前585年5月28日。他在埃及時(shí)曾利用日影及比例關(guān)系算出金字塔的高，使法老大為驚訝。
泰勒斯在數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)是開(kāi)始了命題的證明，它標(biāo)志著人們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性，這在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)不尋常的飛躍。伊奧尼亞學(xué)派的著名學(xué)者還有阿納克西曼德和阿納克西米尼等。他們對(duì)后來(lái)的畢達(dá)哥拉斯有很大的影響。
畢達(dá)哥拉斯公元前580年左右生于薩摩斯，為了擺脫暴政，移居意大利半島南部的克羅頓。在那里組織一個(gè)政治、宗教、哲學(xué)、數(shù)學(xué)合一的秘密團(tuán)體。后來(lái)在政治斗爭(zhēng)中遭到破壞，畢達(dá)哥拉斯被殺害，但他的學(xué)派還繼續(xù)存在兩個(gè)世紀(jì)之久。
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派企圖用數(shù)來(lái)解釋一切，不僅僅認(rèn)為萬(wàn)物都包含數(shù)，而且說(shuō)萬(wàn)物都是數(shù)。他們以發(fā)現(xiàn)勾股定理(西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理)聞名于世，又由此導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)。
這個(gè)學(xué)派還有一個(gè)特點(diǎn)，就是將算術(shù)和幾何緊密聯(lián)系起來(lái)。他們找到用三個(gè)正整數(shù)表示直角三角形三邊長(zhǎng)的一種公式，又注意到從 1起連續(xù)的奇數(shù)和必為平方數(shù)等等，這既是算術(shù)問(wèn)題，又和幾何有關(guān)，他們還發(fā)現(xiàn)五種正多面體。
伊奧尼亞學(xué)派和畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有顯著的不同。前者研習(xí)數(shù)學(xué)并不單純?yōu)榱苏軐W(xué)的興趣，同時(shí)也為了實(shí)用。而后者卻不注重實(shí)際應(yīng)用，將數(shù)學(xué)和宗教聯(lián)系起來(lái)，想通過(guò)數(shù)學(xué)去探索永恒的真理。
公元前五世紀(jì)，雅典成為人文薈萃的中心，人們崇尚公開(kāi)的精神。在公開(kāi)的討論或辯論中，必須具有雄辯、修辭、哲學(xué)及數(shù)學(xué)等知識(shí)，于是“智人學(xué)派”應(yīng)運(yùn)而生。他們以教授文法、邏輯、數(shù)學(xué)、天文、修辭、雄辯等科目為業(yè)。
在數(shù)學(xué)上，他們提出“三大問(wèn)題”：三等分任意角；倍立方，求作一立方體，使其體積是已知立方體的二倍；化圓為方，求作一正方形，使其面積等于一已知圓。這些問(wèn)題的難處，是作圖只許用直尺(沒(méi)有刻度的尺)和圓規(guī)。
希臘人的興趣并不在于圖形的實(shí)際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這些問(wèn)題，這是幾何學(xué)從實(shí)際應(yīng)用向系統(tǒng)理論過(guò)渡所邁出的重要的一步。
這個(gè)學(xué)派的安提豐提出用“窮竭法”去解決化圓為方問(wèn)題，這是近代極限理論的雛形。先作圓內(nèi)接正方形，以后每次邊數(shù)加倍，得8、16、32、…邊形。安提豐深信“最后”的多邊形與圓的“差”必會(huì)“窮竭”。這提供了求圓面積的近似方法，和中國(guó)的劉徽的割圓術(shù)思想不謀而合。
公元前三世紀(jì)，柏拉圖在雅典建立學(xué)派，創(chuàng)辦學(xué)園。他非常重視數(shù)學(xué)，但片面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在訓(xùn)練智力方面的作用，而忽視其實(shí)用價(jià)值。他主張通過(guò)幾何的學(xué)習(xí)培養(yǎng)邏輯思維能力，因?yàn)閹缀文芙o人以強(qiáng)烈的直觀印象，將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中。
這個(gè)學(xué)派培養(yǎng)出不少數(shù)學(xué)家，如歐多克索斯就曾就學(xué)于柏拉圖，他創(chuàng)立了比例論，是歐幾里得的前驅(qū)。柏拉圖的學(xué)生亞里士多德也是古代的大哲學(xué)家，是形式邏輯的奠基者。他的邏輯思想為日后將幾何學(xué)整理在嚴(yán)密的邏輯體系之中開(kāi)辟了道路。
這個(gè)時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)中心還有以芝諾為代表的埃利亞學(xué)派，他提出四個(gè)悖論，給學(xué)術(shù)界以極大的震動(dòng)。這四個(gè)悖論是：
二分說(shuō)，一物從甲地到乙地，永遠(yuǎn)不能到達(dá)。因?yàn)橄霃募椎揭遥紫纫ㄟ^(guò)道路的一半，但要通過(guò)這一半，必須先通過(guò)一半的一半，這樣分下去，永無(wú)止境。結(jié)論是此物的運(yùn)動(dòng)被道路的無(wú)限分割阻礙著，根本不能前進(jìn)一步；阿基琉斯(善跑英雄)追龜說(shuō)，阿基琉斯追烏龜，永遠(yuǎn)追不上。因?yàn)楫?dāng)他追到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)時(shí)，龜已向前爬行了一段，他再追完這一段，龜又向前爬了一小段。這樣永遠(yuǎn)重復(fù)下去，總也追不上；飛箭靜止說(shuō)，每一瞬間箭總在一個(gè)確定的位置上，因此它是不動(dòng)的；運(yùn)動(dòng)場(chǎng)問(wèn)題，芝諾論證了時(shí)間和它的一半相等。
以德謨克利特為代表的原子論學(xué)派，認(rèn)為線段、面積和立體，是由許多不可再分的原子所構(gòu)成。計(jì)算面積和體積，等于將這些原子集合起來(lái)。這種不甚嚴(yán)格的推理方法卻是古代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的重要線索。
公元前四世紀(jì)以后的希臘數(shù)學(xué)，逐漸脫離哲學(xué)和天文學(xué)，成為獨(dú)立的學(xué)科。數(shù)學(xué)的歷史于是進(jìn)入一個(gè)新階段——初等數(shù)學(xué)時(shí)期。
這個(gè)時(shí)期的特點(diǎn)是，數(shù)學(xué)(主要是幾何學(xué))已建立起自己的理論體系，從以實(shí)驗(yàn)和觀察為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)科學(xué)過(guò)渡到演繹的科學(xué)。由少數(shù)幾個(gè)原始命題(公理)出發(fā)，通過(guò)邏輯推理得到一系列的定理。這是希臘數(shù)學(xué)的基本精神。
在這一時(shí)期里，初等幾何、算術(shù)初等代數(shù)大體己成為獨(dú)立的科目。和17世紀(jì)出現(xiàn)的解析幾何學(xué)、微積分學(xué)相比，這一個(gè)時(shí)期的研究?jī)?nèi)容可以用“初等數(shù)學(xué)”來(lái)概括，因此叫做初等數(shù)學(xué)時(shí)期。
埃及的亞歷山大城，是東西海陸交通的樞紐，又經(jīng)過(guò)托勒密王的加意經(jīng)營(yíng)，逐漸成為新的希臘文化中心，希臘本土這時(shí)已經(jīng)退居次要地位。幾何學(xué)最初萌芽于埃及，以后移植于伊奧尼亞，其次繁盛于意大利和雅典，最后又回到發(fā)源地。經(jīng)過(guò)這一番培植，已達(dá)到豐茂成林的境地。
從公元前四世紀(jì)到公元前146年古希臘滅亡，羅馬成為地中海區(qū)域的統(tǒng)治者為止，希臘數(shù)學(xué)以亞歷山大為中心，達(dá)到它的全盛時(shí)期。這里有巨大的圖書(shū)館和濃厚的學(xué)術(shù)空氣，各地學(xué)者云集在此進(jìn)行教學(xué)和研究。其中成就最大的是亞歷山大前期三大數(shù)學(xué)家歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯。
歐幾里得的《幾何原本》是一部劃時(shí)代的著作。其偉大的歷史意義在于它是用公理法建立起演繹體系的最早典范。過(guò)去所積累下來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)，是零碎的、片斷的，可以比作磚瓦木石；只有借助于邏輯方法，把這些知識(shí)組織起來(lái)，加以分類(lèi)、比較，揭露彼此間的內(nèi)在聯(lián)系，整理在一個(gè)嚴(yán)密的系統(tǒng)之中，才能建成宏偉的大廈。《幾何原本》體現(xiàn)了這種精神，它對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。
阿基米德是物理學(xué)家兼數(shù)學(xué)家，他善于將抽象的理論和工程技術(shù)的具體應(yīng)用結(jié)合起來(lái)，又在實(shí)踐中洞察事物的本質(zhì)，通過(guò)嚴(yán)格的論證，使經(jīng)驗(yàn)事實(shí)上升為理論。他根據(jù)力學(xué)原理去探求解決面積和體積問(wèn)題，已經(jīng)包含積分學(xué)的初步思想。阿波羅尼奧斯的主要貢獻(xiàn)是對(duì)圓錐曲線的深入研究。
除了三大數(shù)學(xué)家以外，埃拉托斯特尼的大地測(cè)量和以他為名的“素?cái)?shù)篩子”也很出名。天文學(xué)家喜帕恰斯制作“弦表”，是三角學(xué)的先導(dǎo)。
公元前146年以后，在羅馬統(tǒng)治下的亞歷山大學(xué)者仍能繼承前人的工作，不斷有所發(fā)明。海倫(約公元62)、門(mén)納勞斯(約公元100)、帕普斯等人都有重要貢獻(xiàn)。天文學(xué)家托勒密將喜帕恰斯的工作加以整理發(fā)揮，奠定了三角學(xué)的基礎(chǔ)。
晚期的希臘學(xué)者在算術(shù)和代數(shù)方面也頗有建樹(shù)，代表人物有尼科馬霍斯(約公元100)和丟番圖(約250)前者是杰拉什(今約旦北部)地方的人。著有《算術(shù)入門(mén)》，后者的《算術(shù)》是講數(shù)的理論的，而大部分內(nèi)容可以歸入代數(shù)的范圍。它完全脫離了幾何的形式，在希臘數(shù)學(xué)中獨(dú)樹(shù)一幟，對(duì)后世影響之大，僅次于《幾何原本》。
公元325年，羅馬帝國(guó)的君士坦丁大帝開(kāi)始利用宗教作為統(tǒng)治的工具，把一切學(xué)術(shù)都置于基督教神學(xué)的控制之下。
公元529年，東羅馬帝國(guó)皇帝查士·丁尼下令關(guān)閉雅典的柏拉圖學(xué)園以及其他學(xué)校，嚴(yán)禁傳授數(shù)學(xué)。許多希臘學(xué)者逃到敘利亞和波斯等地。數(shù)學(xué)研究受到沉重的打擊。641年，亞歷山大被阿拉伯人占領(lǐng)，圖書(shū)館再次被毀，希臘數(shù)學(xué)至此告一段落。
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